Tato stránka obsahuje informace pro posluchače předmětu Forcing vyučovaného v zimním semestru v roce 2020, přednášející David Chodounský.

Obecné informace

Přednáška je nyní rozvržena na úterý 15:40–17:10, koná se formou Zoom meetingu, ID 929 5656 1549. Zájemci o předmět nebo záznamy z přednášek mne mohou kontaktovat na moji emailovou adresu.

Studijní materiály

Výklad nebude sledovat žádný konkrétní studijní text, občas se ale bude na různé texty odkazovat. Online výklad je rovněž vhodné doplnit studiem kapitol o forcingu v různých knihách a skriptech.

Kenneth Kunen, Set Theory, An Introduction to Independence Proofs

Klasická učebnice forcingu.

Balcar–Štěpánek, Teorie Množin

Česká kniha, o forcingu pojednává kapitola IV. Narozdíl od výkladu jsou zde používány především Booleovy algebry.

Thomas Jech, Set Theory (The Third Millennium Edition)

Obsáhlá přehledová učebnice. O forcingu pojednávají kapitoly 14–16.

Mirna Džamonja, Fast Track to Forcing

Nová učebnice teorie množin, zaměřená na forcing.

Spencer Unger, UCLA Logic Summer School forcing lecture notes

Pěkně zpracované poznámky z kurzu forcingu, dostupné zde.

Itay Neeman, Forcing lecture notes

Skripta k přednášce, velice kvalitní, docela rychlé.

Aktuality

Na prvních třech přednáškách jsme procházeli slajdy. Na přednášku 27.10. se podívejte do slajdů na dokončení důkazu konzistence negace hypotézy kontinua. Dále se budeme bavit o Martinově axiomu.

27.10.

Definovali jsme Martinův Axiom MA a prošli jeho základní vlastnosti. Definovali jsme bounding number $\mathfrak b$ a použili Hechlerův poset k důkazu, že za MA platí $\mathfrak b = \mathfrak c$.

3.11.

Pokračovali jsem příklady důsledků Martinova Axiomu. Řešili jsme pseudo-intersection number $\mathfrak p$, aditivitu množin míry nula, definovali jsme $\sigma$-centrované a $\sigma$-linkované posety. Příště budeme pokračovat o uniformizavatelných skoro disjunktních systémech.

10.11.

Bavili jsme se o (silně) uniformizavatelných skoro disjunktních systémech, dokázali jsme lemma o nespočetné podmnožině c.c.c. posetu, a definovali jsme precaliber $\omega_1$ posety, Knaster property posety a produktivně c.c.c. posety.

24.11.

Konstruovali jsme Lusin gap, dokazovali jsme, že za MA jsou c.c.c. posety produktivně c.c.c. a že neexistují Suslinovi stromy.

1.12.

Forcovali jsme antichainy do Aronszajnových stromů a definovali různá vnoření posetů.

8.12.

Analyzovali jsme vlastnosti vnoření posetů a generických filtrů. Dokázali jsme ekvivalenci různých formulací Martinova axiomu.

15.12.

Bavili jsme se o chromatickém čísle Hajnal–Máté grafu za MA. Definovali jsme si kolapsovou algebru a vyslovili Solovayovu a Kripkeho větu. Vyslovili jsme větu o absolutnosti Δ$_0$ formulí mezi tranzitivními modely uvedli jsme příklady. Začali jsme se bavit o jménech pro prvky generického rozšíření.

22.12.

Odvodili jsme kanonickou podobu jmen pro prvky ground-modelu $V$ a jmen pro podmnožiny prvků $V$. Spočítali jsme velikost kontinua $\mathfrak c$ v Cohenově modelu a dokázali jsme, že v tomto modelu platí $\mathfrak b = \omega_1$.

5.1.

Zavedli jsme jména pro prvky generického rozšíření, Booleovské univerzum, definovali jsme relaci forcování a naznačili důkaz věty o forcingu.

Posluchači předmětu absolvovali během této přednášky zkoušku.